会社設立後の社会保険納入について

法人設立を５月１日に行い、事業を開始しています。
社会保険の届出を提出する必要は理解していたのですが、事業開始後はなにかと忙しく、社会保険の届出が７月になってしまいました。適用年月日は７月１日となっているのですが、５月と６月分の社会保険料を納めていないので、その分の保険料は年金事務所から追加徴収されるのでしょうか？

７月１日で社会保険の適用をしているのであれば、事業開始が５月１日であっても、年金事務所からその分の追加徴収が行われることはありません。ただし、御社側で５月１日に遡って適用年月日を変更したいということであれば、その間報酬が支払われていた確認書類等根拠書類と訂正届を提出することで、遡って認めてもらうことも可能です。
遡って訂正をしない場合は、５月と６月に関しては、社会保険は未適用、保険については国民年金・国民健康保険の被保険者となるかと思います。